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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Para cada una de las siguientes sucesiones, proponga el término general $a_{n}$ y clasifique las mismas en convergentes o divergentes.
f) $0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{4}, \ldots$
f) $0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{4}, \ldots$
Respuesta
Bueno, el término general de esta sucesión no es para nada trivial, de hecho es más que eso, es difícil. Yo en su momento lo pensé un largo rato, y llegué a la conclusión que era:
Reportar problema
$a_n = \frac{1+(-1)^n}{n+2} $
Fijate que, como $(-1)^n$ vale $-1$ cuando $n$ es impar, haber puesto en el numerador $1+(-1)^n$ va a hacer que todos los términos con $n$ impar se anulen. En cambio, cuando $n$ sea par, el numerador va a valer $2$. Y acá bueno, es un poco de ojo, abajo en el numerador puse $n+2$ para que los términos pares sean los que tienen que ser.
Para ver si esta sucesión es convergente o divergente analizamos su comportamiento cuando $n$ tiende a infinito. Como ya nos viene pasando otras veces, tenemos un denominador que se está yendo a infinito y un numerador que tiende a un número, por lo tanto este límite nos da $0$ y decimos que la sucesión es convergente.